必知必会的数学之函数连续性

函数是整个高等数学研究的对象，极限则是研究函数的工具。

函数连续的定义

定义一

设函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某邻域内有定义，如果 $ \lim_{\Delta x → 0} \Delta y = \lim_{\Delta x → 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0 $ 则称 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 连续。

定义二

设函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某邻域内有定义，如果 $ \lim_{x → x_0} f(x) = f(x_0) $ 则称 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 连续。

定义三

若 $ \lim_{x → x_0^-} f(x) = f(x_0) $ ，则称 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 左连续；

若 $ \lim_{x → x_0^+} f(x) = f(x_0) $ ，则称 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 右连续。

定义四

若 f(x) 在 (a, b) 内每一点都连续，则称 f(x) 在 (a, b) 内连续；

若 f(x) 在 (a, b) 内连续，且在 x = a 处右连续，在 x = b 处左连续，则称 f(x) 在 [a, b] 上连续。

函数的间断点

根据定义二，如果函数在某点连续则需要满足：

\[\lim_{x → x_0} f(x) = f(x_0)\]

反之，如果不满足这个条件的任意一部分则不成立：

（1）$ f(x_0) $ 不存在，即函数在 $ x = x_0 $ 处没有定义；

（2）在 $ x = x_0 $ 处有定义，但 $ \lim_{x → x_0} f(x) $ 不存在；

（3）在 $ x = x_0 $ 处有定义，且 $ \lim_{x → x_0} f(x) $ 存在，单二者不相等。

即：如果 f(x) 又以上三种情形之一，那么 f(x) 在点 $ x = x_0 $ 处不连续，称点 $ x_0 $ 为 f(x) 的间断点。

间断点的分类

第一类间断点（可去，跳跃）

左、右极限均存在的间断点。

可去：左右极限相等；

跳跃：左右极限不相等；

第二类间断点（无穷、震荡、其他）

左、右极限中至少有一个不存在的间断点。

重点：连续函数的保号性

设 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处连续，且 $ f(x_0) > 0(<0) $，则 $ \exists x_0 $ 的某个邻域，当 $ x \in U(x_0) $ 时，$ f(x) > 0(< 0) $

连续函数的运算和初等函数的连续性

连续函数的四则运算

设 $ f(x),g(x) $ 在点 $ x_0 $ 处连续，

则 $ f(x) \pm g(x), f(x)*g(x), \frac{f(x)}{g(x)}(g(x) \neq 0时) $ 都在点 $ x_0 $ 处连续。

Tip： 存在±不存在 = 不存在；连续和可导同样成立。

复合函数的连续性

设 $ u = g(x) $ 在点 $ x_0 $ 处连续，$ y=f(u) $ 在 $ u_0 = g(x_0) $ 处连续，

则复合函数 $ y = f[g(x)] $ 在点 $ x_0 $ 处连续。

注意： 假设 f 连续，g 不连续，则 f[f] 连续，g[f], f[g], g[g] 的连续性都存疑。

反函数的连续性

设 $ y = f(x) $ 在区间 $ I_x $ 上单调且连续，则其反函数 $ x = \phi(y) $ 在对应区间 $ I_y $ 上连续，且具有相同的单调性。

初等函数的连续性

初等函数在其定义区间（如果定义域只有一个点则谈不上连续，故不是在定义域内。例如 $ y = \sqrt{x-1} + \sqrt{1-x} $，只在 x = 1 处有定义）内都是连续的。

闭区间上连续函数的性质

注意： 以下性质，必须满足两个关键字闭区间 和 连续

有界性和最大值最小值定理

设 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f(x) 在 [a, b] 上有界且能取到最大值和最小值。

举例说明：

函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，在开区间 (0, 1) 上连续，但是无界，在开区间 (1, 2) 上连续，有界，单取不到最大、最小值。

零点定理（重要）

设 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f(a)*f(b) = 0 （异号），则至少存在一点 $ \xi \in (a, b) $ ，使 $ f(\xi) = 0 $.

零点定理的推广

(1) 设 f(x) 在开区间 (a, b) 上连续，且 a 可以是负无穷，b 可以是正无穷，且满足 $ \lim_{x → a^+} f(x) * \lim_{x → b^-} f(x) < 0 $，则至少存在一点 $ \xi \in (a, b) $ ，使 $ f(\xi) = 0 $.

(2) 设 f(x) 在区间 [a, b) 上连续，且 b 可以是正无穷，且满足 $ f(a) * \lim_{x → b^-} f(x) < 0 $，则至少存在一点 $ \xi \in (a, b) $ ，使 $ f(\xi) = 0 $（对于区间(a, b]亦可类推）.

介值定理

设 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 $ f(a) \neq f(b) $，则对于 f(a) 和 f(b) 之间的任何一个数 u，则至少存在一点 $ \xi \in (a, b) $ ，使 $ f(\xi) = u $.

一个重要推论

若 f(x) 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内连续，且 $ \lim_{x → \infty}f(x) $ 存在，则 f(x) 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内有界。

一般化 若 f(x) 在 (a, b) 内连续，且 $ \lim_{x → a^+} f(x) $ 和 $ \lim_{x → b^-} f(x) $ 都存在（不必相等），则 f(x) 在 (a, b) 内有界。（a 可以是有限数也可以是负无穷，同理对b）

上述推论可使用极限的局部有界性和有界性和最大值最小值定理推出。