必知必会的数学之导数

导数的定义

定义一

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x → 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x → 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]

当以上极限存在 时，这个极限称为函数 f(x) 在这个点的导数。

注： 也可写作$ f’(x_0) = \lim_{h → 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{\Delta x}, f’(x_0) = \lim_{x → x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $， 且定义中 “-f(x0)” 重点关注，不可忽略，除非为 0 时，不写出来。

定义二

右导数：

\[f_+'(x_0) = \lim_{\Delta x → 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]

左导数：

\[f_-'(x_0) = \lim_{\Delta x → 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]

定理一

\[f'(x_0) = A \Leftrightarrow f_+'(x_0) = f_-'(x_0) = A\]

定理二

若函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处可导，则 $ y = f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处连续；反之不对。（可导必连续，连续不一定可导）

定义三

如果函数 f(x) 在区间 I 上每一点都可导（端点是指单侧可导），则称 f(x) 在区间 I 上可导，此时 f’(x) 依然是个函数，叫做原来函数 f(x) 的导函数。

求导法则

常数和基本初等函数的导数公式

\[(C)' = 0 \\ (x^\mu)' = \mu x^{\mu - 1} \\ (sin x)' = cos x \\ (cos x)' = -sin x \\ (tan x)' = sec^2 x \\ (cot x)' = -csc^2 x \\ (sec x)' = sec \ xtgx \\ (csc x)' = -csc \ xctgx \\ (a^x)' = a^x ln a \\ (e^x)' = e^x \\ (log_a x)' = \frac{1}{x ln a} \\ (ln x)' = \frac{1}{x} \\ (arcsin \ x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ (arccos \ x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ (arctan \ x)' = \frac{1}{1 - x^2} \\ (arccot \ x)' = -\frac{1}{1 - x^2}\]

四则运算求导法则

设 u、v 均可导，则：

\[(u \pm v)' = u' \pm v' \\ (uv)' = u'v + uv' \\ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

反函数求导法则

设 $ y = f(x) $ 再某区间单调可导且 $ f’(x) \neq 0 $，则其反函数 $ x = \phi(y) $（注意反函数的形式）在对应区间也可导，且

\[\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} 即 \phi'(y) = \frac{1}{f'(x)}\]

推导

由于我们可以理解导数为切线斜率：

\[y = f(x) → y_x' = tan \alpha \\ x = \phi(y) → x_y' = tan \beta\]

因为二者互为反函数，则：

\[\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \\ 则：y_x' = \frac{1}{x_y'} \\ 即：x_y' = \frac{1}{y_x'}\]

复合函数求导

设 $ y = f(u), u = f(x) $ 都可导，则复合函数 $ y = f[g(x)] $ 也可导，且 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} $ ，即 $ y’ = f’(u) g’(x) = f’[g(x)] g’(x) $

常用导数

\[(ln|x|)' = \frac{1}{x} \quad (x \neq 0) \\ (ln|f(x)|)' = \frac{f'(x)}{f(x)}\]

常用技巧

遇到整体乘除（可带指数或开方）时，取对数。

遇到幂指函数取对数或者换底。

分段函数要分别求分段点和非分段点的导数，其中分段点要使用导数定义来求。