必知必会的数学之极限篇

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

数列极限

定义

对于数列 $ {a_n} $，假设有一个数 a。若对任意正数$ \epsilon $，存在正整数N，使得当 n > N 时有 $

a_n - a

< \epsilon $，则称数列$ {a_n} $收敛于 a，数 a 称为数列 $ {a_n} $的极限。记为：

\[\lim_{n \to +\infty} a_n = a\]

数列极限性质

1. 唯一性 若数列 $ {a_n} $ 收敛，则它只有一个极限。

2. 有界性 若数列 $ {a_n} $ 收敛，则 $ {a_n} $ 为有界数列，即存在正数 M ，使得对一切正整数n有 $

   a_n

   \leq M $

3. 保号性 若 $ \lim_{n \to +\infty} a_n = a > 0 $ (或 a < 0)，则对 $ a’ \in (0, a) $ (或 $ a’ \in (a, 0) $ ),存在正数N，使得当 n > N 时，有 $ a_n > a’ $ (或 $ a_n < a’ $ )。

4. 子列的关系 若数列 $ {a_n} $ 收敛于 a，那么它的任一子列的数列极限也是a。

5. 保不等式性 设 $ {a_n} $ 与 $ {b_n} $ 均为收敛数列。若存在正数 $ N_0 $ ，使得当 $ n > N_0 $ 时有 $ {a_n} <{b_n} $ ，则 $ \lim_{n \to +\infty} a_n \leq \lim_{n \to +\infty} b_n $

6. 迫敛性 设收敛数列 $ {a_n} $ ， $ {b_n} $ 都以a为极限，数列 $ {c_n} $ 满足： 存在正数 $ N_0 $ ，当 $ n > N_0 $ 时有 $ a_n < c_n < b_n $ 则数列 $ {c_n} $ 收敛，且$ \lim_{n \to +\infty} c_n = a $

函数的极限

一组基本概念

1. 邻域： 以 $ {x_0} $ 为中心的任何开区间成为点 $ {x_0} $ 的邻域，记作 $ {U(x_0)} $；

2. 去心邻域： 在 $ {U(x_0)} $ 中去掉中心 $ {x_0} $ 后，称为点 $ {x_0} $ 的去心邻域，记作 $ \mathring{U}(x_0) $ ；

3. $ \delta $ 邻： 设 $ \delta > 0 $，称开区间 $ (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $ 为点 $ {x_0} $ 的 $ \delta $ 邻域，记作 $ {U(x_0, \delta)} $；

4. 邻域半径： 点 $ {x_0} $ 的去心 $ \delta $ 邻域, 记作 $ \mathring{U}(x_0, \delta) $ ，这里称 $ \delta $ 为邻域半径。

定义一

设函数 $ f(x) $ 在某点 $ {x_0} $ 的某一去心邻域内有定义，如果对于给定任意的正数$ \epsilon $，总存在 $ \delta > 0 $，使得当x满足不等式 $ 0 <

x - x_0

< \delta $ 时，对应的函数值 $ f(x) $ 都满足不等式 $

f(x) - a

< \epsilon $ , 则称常数 a 是 $ f(x) $ 当 $ x → x_0 $时的极限，记作：

\[\lim_{x → x_0} f(x) = a\]

注意： $ f(x) $ 在 $ {x_0} $ 处的极限$ \lim_{x → x_0} f(x) $是否存在，与 $ f(x) $ 在 $ {x_0} $ 处是否有定义无关

类似可以定义 $ x → x_0^+ $ 或者 $ x → x_0^- $ 时的单侧极限 $ \lim_{x → x_0^+} f(x) $ 或者 $ \lim_{x → x_0^-} f(x) $

定理一

\[\lim_{x → x_0} f(x) = A \Longleftrightarrow \lim_{x → x_0^+} f(x) = \lim_{x → x_0^-} f(x) = A\]

以下函数要利用左右极限求极限：

1. 分段函数
2. $ e^\infty $ 型函数，比方说 $ \lim_{x → 1} e^{\frac{1}{x - 1}} $
3. $ arc tan \infty $ 型函数，比方说 $ \lim_{x → 1} arctan \frac{1}{x - 1} $

定义二

设函数 $ f(x) $ 在

x

大于某一正数时有定义，如果对于任意给定的 $ \epsilon > 0 $，总存在 X > 0，使得当 x 满足不等式

x

> X 时，对应的函数值都满足不等式 $

f(x) - a

< \epsilon $，则称常数 a 是 $ f(x) $ 当 $ x → \infty $时的极限，记作：

\[\lim_{x → \infty} f(x) = a\]

类似可以定义 $ x → \infty^+ $ 或者 $ x → \infty^- $ 时的单侧极限 $ \lim_{x → \infty^+} f(x) $ 或者 $ \lim_{x → \infty^-} f(x) $

定理二

\[\lim_{x → \infty} f(x) = A \Longleftrightarrow \lim_{x → \infty^+} f(x) = \lim_{x → \infty^-} f(x) = A\]

举例：$ \lim_{x → \infty} e^x $ 没有极限，因为左右极限不相等。

函数极限的性质

1. 函数极限唯一性 如果 $ \lim_{x → x_0} f(x) $ 存在，那么这极限唯一；

2. 函数极限的局部有界性 如果 $ \lim_{x → x_0} f(x) = a $，那么存在常数 $ M > 0 和 \delta > 0 $，使得当 $ 0 <

   x - x_0

   < \delta $时，有 $

   f(x)

   < M $；

3. 函数极限的局部保号性 若 $ \lim_{n \to x_0} a_n = a > 0 $ (或 a < 0)，存在正数$ \delta $，使得当 $ 0 <

   x - x_0

   < \delta $ 时，有 $ f(x) > 0 $ (或 $ f(x) < 0 $ )。即，极限为正，去心邻域函数也为正。推论：去心邻域函数值为正，则极限也为正；

4. 函数极限和数列极限的关系 如果 $ \lim_{x → x_0} f(x) $ 存在，$ {x_n} $ 是 $ f(x) $ 的定义域内任一收敛于 $ x_0 $ 的数列，且 $ x_n \neq x_0 $ ,那么相应的函数值数列 $ {f{x_n}} $ 必收敛，且 $ \lim_{x → \infty} f{x_n} = \lim_{x → x_0} f(x) $ （换元）。

极限运算法则（怎么求极限）

定理一（四则运算法则）

如果

\[\lim f(x) = A, \lim g(x) = B\]

那么：

\[\lim[f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B\] \[\lim[f(x) g(x)] = \lim f(x) · \lim g(x) = A · B\] \[\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B} (B \neq 0)\]

注意使用限制条件：

（1）进行运算的两个极限必须存在； （2）除法运算时做分子的极限不能为0； （3）存在 加减 不存在 结论是不存在；

常用技巧：

\[\lim_{x → \infty} \frac{a_0 x^m + \dots + a_m}{b_0 x^n + \dots + b_n} = \left\{ \begin{aligned} \frac{a_0}{b_0} (m = n) \\ 0 (m < n) \\ \infty (m > n) \end{aligned} \right.\]

处理 $ \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} $ 应该进行代换，把 0 或 无穷代换掉， 处理 $ 0*\infty 或 \infty - \infty $ 应转化为 $ \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} $ 问题，在进行求解。

定理二（复合函数极限运算法则）

设 $ y = f[g(x)] $ 是由 $ y = f(u) $ 与 $ u = g(x) $ 复合而成 $ y = f[g(x)] $ 在点 $ x_0 $ 的某去心邻域内有定义，若 $ \lim_{x → x_0} g(x) = u_0 $ ，而 $ y = f(u) $ 在 $ u = u_0 $ 处连续则：

\[\lim_{x → x_0} f[g(x)] = f[\lim_{x → x_0} g(x)] = f(u_0)\]

极限存在准则

夹逼准则

如果数列 $ {x_n}, {y_n}, {z_n} $ 满足以下条件：

\[\exist N > 0, 如果n > N, 则x_n \leq y_n \leq z_n\] \[\lim_{n → \infty} x_n = \lim_{n → \infty} z_n = a\]

则数列 $ {y_n} $ 有极限，且 $ \lim_{n → \infty} y_n = a $

注意： 函数对应有以上夹逼准则。

单调有界准则

若数列 $ {x_n} $ 单调增加，且有上界，则极限 $ \lim_{n → \infty} x_n $ 存在；

若数列 $ {x_n} $ 单调减少，且有下界，则极限 $ \lim_{n → \infty} x_n $ 存在；

两个重要极限

\[\lim_{x → 0} \frac{sin x}{x} = 1\] \[\lim_{x → \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = \lim_{x → 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e\]

如何利用两个重要极限

\[x → 0时, \phi(x) → 0, \lim_{x → 0} \frac{sin \phi(x)}{\phi(x)} = 1\] \[x → 0时, \phi(x) → 0, \lim_{x → 0} (1 + \phi(x))^{\frac{1}{\phi(x)}} = e\]

如何利用极限存在准则

一般要结合幂指函数极限运算法则，或者函数本身性质（如，常用不等式）

幂指函数极限运算法则

\[若\lim_{x → x_0} f(x) = A，\lim_{x → x_0} g(x) = B，则 \lim_{x → x_0} f(x)^{g(x)} = A^B\]

处理 $ 1^{\infty} $ 型极限求解问题，应当凑重要极限并结合幂指函数极限运算法则。

算例：

\[\lim_{x → 0} (1 + 2x)^{\frac{3}{sinx}} = \lim_{x → 0} [(1 + 2x)^{\frac{1}{2x}}]^{\frac{6x}{sinx}} = e^6\]

综合运用求极限法则（算例）

证明数列 $ \sqrt{2}, \sqrt{2 + \sqrt{2}}, \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \dots $ 极限存在，并求次极限。

\[x_{n+1} = \sqrt{x_n + 2}, x_1 = \sqrt{2} \quad (n = 1,2,3,\dots)\] \[由于 x_{n + 1} - x_n = \sqrt{x_n + 2} - x_n = \frac{x_n + 2 - x_n^2}{\sqrt{x_n + 2} + x_n} = \frac{(2 - x_n)(1 + x_n)}{\sqrt{x_n + 2} + x_n} \quad (式：1)\] \[由 x_1 = \sqrt{2} < 2, 设 x_k < 2\] \[则 x_{k + 1} = \sqrt{x_k + 2} < \sqrt{2+2} = 2\] \[则假设成立，即 x_n < 2，即有上界 2\] \[则，式1 > 0，即 x_{n+1} > x_n，即数列单调增\]

故数列极限存在（单调有界准则），令极限为A

\[在 x_{n + 1} = \sqrt{2 + x_n} 两端取极限(n → \infty)\] \[A = \sqrt{2 + A} \Rightarrow A = 2, A = -1\] \[由于 x_n > 0, 则A = 2（保号性）\] \[\lim_{n → \infty} x_n = 2\]